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弧度制与角度制的换算(弧的度数与圆心角的度数的关系)

发布于：2024-03-09 10:22:06 来源：互联网

相信题主已经知道度量角的大小，常见的度量方法有角度制与弧度制两种。

所谓角度制，就是将圆周 360 等分，其中 1 份所对应的圆心角定义为 1 度，记作 1°。并将 1 度的 1/60 定义为 1 分，记作 1"；将 1 分的 1/60 定义为 1 秒，记作 1"。换言之，1°＝60"，1"＝60"。

上述是现行初中数学的内容，题主也应该很熟悉。

而弧度制则是根据圆心角、弧长、半径之间的数量关系而引入的。

设弧长为 ，半径为 ，所对应的圆心角为 ，则

。

由上述推导可知，弧长与半径的比值至于所对应的圆心角有关。当 为定值时，比值 也为定值。于是，我们可以利用「弧长与半径的比值」来表示角的大小。

我们可以定义：当弧长等于半径时，弧所对应的圆心角为 1 弧度，记作 1rad。

由上述讨论可知，弧度制本质上相当于用实数（两个长度的比值）来表示角的大小。从纯数学的观点看，后面不加单位（也可以认为单位是 1）也是理所应当的，单位 rad 纯属冗余。所谓「弧度（rad）」的引入，则仅仅是为了类比于「度（°）」，人为添加以突出这是用来度量角的单位。这种表示，用于弧度制与角度制之间换算，从形式上比较方便、美观；即便是工程、技术、测量等行业，也不容易同其他的无量纲量相互混淆，引起歧义。

既然我们可以用实数表示角的大小，那么角度与正弦值之间的映射，可以表示成实数与实数之间的映射 。进而，我们也可以比较 与 的大小，并讨论诸如函数 的性质等。从这个意义上，弧度制的引入给数学带来了极大的方便。

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