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圆锥曲线知识点总结(双曲线有什么知识点)

发布于：2024-03-31 08:34:01 来源：互联网

双曲线大部分知识点可类比椭圆，相比椭圆增加“渐近线”这一知识点。圆锥曲线中有关双曲线的基本知识点、常用结论，以及一些解题思路与方法，小结如下。

一、基本知识点

1、双曲线的两个定义：满足“①到两定点距离之差的绝对值为非零常数（0<2a<|F1F2|）”或“②到一定点的距离与到一定直线的距离之比e为常数（e>1）”的点的轨迹。

2、双曲线的标准方程：考虑焦点在x轴与y轴的两种情形。

3、双曲线的几何性质：

①图象

②对称中心（原点）与对称轴（x轴或y轴）

③顶点（(±a,0)或(0,±a)）

④焦点（(±c,0)或(0,±c)）与焦距（|F1F2|=2c）

⑤范围（x与y的取值范围）

⑥实轴（2a）与虚轴（2b）

⑦离心率（e=c/a）

⑧准线方程（区分焦点在x轴或y轴）

⑨焦准距

⑩渐近线方程

4、点与双曲线的位置关系：

①点在双曲线外（<1）

②点在双曲线上（=1）

③点在双曲线内（>1）

5、直线与双曲线的位置关系：

①相离（∆<0，即直线与双曲线联立消一元后的一元二次方程无解）

②相切（∆=0，即直线与双曲线联立消一元后的一元二次方程有相同解）

③相交（∆>0，即直线与双曲线联立消一元后的一元二次方程有两个不同解）

二、常用结论

这里给出了33条结论，供参考，详见图片。

三、一些方法

1、求解双曲线标准方程的一般方法：

①利用定义和几何性质直接求出a、b、c；

②待定系数法：设出双曲线标准方程、或一般方程形式、或双曲线系方程形式（共渐近线或共焦点），依据已知条件建立关于a、b、c或m、n等关于系数的方程组，解方程组得出系数。

注：应明确焦点在x轴还是y轴。

2、求解双曲线离心率的一般方法：同椭圆，请阅上篇微头条。

3、求解双曲线渐近线的一般方法：即求解b/a或a/b的值，可利用几何关系或性质、转化齐次式等方法求解。

注：若给出渐近线方程为y=mx，但未明确焦点在x轴还是y轴，则需要分|m|=b/a与|m|=a/b两种情况进行讨论。

4、求解与双曲线有关的取值范围或最值问题应考虑的源不等关系（作为已知条件使用）：

①离心率：e>1（c>a，同时也有c>b）

②焦点在x轴的双曲线上任一点横坐标范围：x<=-a或x>=a

③双曲线上任一点到原点的距离范围：|OP|>=a

④直线与双曲线相交：若题干明确给出直线与双曲线相交（两个交点），要注意区分两个交点是分属双曲线两支，还是在同一支，这两种情况都有∆>0，但直线斜率范围有差异。

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